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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}}$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}}$
Respuesta
Si te estás volviendo locx intentando reescribir esta serie como en las anteriores, esperá. Acordate que siempre hay algo que nos tenemos que preguntar antes y es si el término general de la serie tiende a $0$ cuando $n \rightarrow \infty$ .Esta era la condición necesaria de convergencia que vimos en la primera clase de series. Si el término general no se está yendo a cero, entonces ya podemos decir que la serie no es convergente (y jamás podremos calcular su suma)
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En este caso, fijate que:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4^n-1}{4 \cdot 4^n}$
Si sacamos factor común $4^n$ en el numerador:
$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n (1- \frac{1}{4^n})}{4 \cdot 4^n} = \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{4} = \frac{1}{4}$
El término general de la serie no tiende a $0$, no cumple con la condición necesaria de convergencia y, por lo tanto, no converge.