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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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2. Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
c) ∑n=0∞22n−14n+1\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}}

Respuesta

Si te estás volviendo locx intentando reescribir esta serie como en las anteriores, esperá. Acordate que siempre hay algo que nos tenemos que preguntar antes y es si el término general de la serie tiende a 00 cuando n→∞n \rightarrow \infty .Esta era la condición necesaria de convergencia que vimos en la primera clase de series. Si el término general no se está yendo a cero, entonces ya podemos decir que la serie no es convergente (y jamás podremos calcular su suma) 

En este caso, fijate que:

lim⁡n→∞ 22n−14n+1= lim⁡n→∞ 4n−14⋅4n\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4^n-1}{4 \cdot 4^n}

Si sacamos factor común 4n4^n en el numerador:

lim⁡n→∞ 4n(1−14n)4⋅4n=1− 14n4=14\lim_{n \to \infty} \frac{4^n (1- \frac{1}{4^n})}{4 \cdot 4^n} = \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{4} = \frac{1}{4}

El término general de la serie no tiende a 00, no cumple con la condición necesaria de convergencia y, por lo tanto, no converge. 
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